[Python] 使用Numpy建立矩陣之基本觀念釐清

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陣列跟矩陣到底有什麼不同？首先，陣列(array)依照其維度可分成一維、二維與多維。

若陣列只有一維，我們通常稱它為向量(vector)，例如：[1, 2, 3]。

若陣列為二維且每一列長度皆相同，我們就會稱它為矩陣(matrix)，例如：[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]。



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好，有以上觀念就足夠了，接著談談怎麼使用Numpy套件處理矩陣運算。程式碼部分我會用IPython的界面呈現方式來表示，[In]代表輸入，[Out]代表對應的輸出。


先匯入Numpy套件：
[In] import numpy as np

假設我們要建立一個最最最基本的矩陣，有兩種方式，以下我們 分成矩陣A1與矩陣A2來看：

[In] A1 = np.array([[1, 2], [3, 4]])
[In] print(A1)
[Out] [[1 2
             3 4]]

或是

[In] A2 = np.matrix([[1, 2], [3, 4]])
[In] print(A2)
[Out] [[1 2
             3 4]]

這兩者有什麼不同？ 讓我們查一下類型：

[In] type(A1)
[Out] numpy.ndarray
[In] type(A2)
[Out] numpy.matrixlib.defmatrix.matrix

矩陣A1與矩陣A2長得一模一樣卻是不同物件？沒錯，矩陣A1是一個Numpy的ndarray物件，ndarray就是n維陣列(n-dimension array)，而矩陣A2是一個Numpy的matrix物件，matrix理所當然就是二維陣列(2-dimension array)。

這邊要注意一下！在Numpy中，matrix物件一定是二維陣列，但是這個二維陣列不一定能夠稱作矩陣！你可以用Numpy創造如下東西：

[In] A = np.matrix([[1, 2], [3, 4, 5]])
[In] print(A)
[Out] [[[1, 2] [3, 4, 5]]]

雖然A是matrix物件，但是它並不能稱作是矩陣，因為其每一列長度並不相同，在這邊它就只是個二維陣列，Numpy雖然認得它，但是無法在其上發揮太多作用，這部分可以多參考官方文件或是stackoverflow的一些解說。

回歸正題，matrix物件只能表達二維陣列，如果試圖用matrix物件表達三維陣列就會發出ValueError：

[In] A = np.matrix([[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]])
...
ValueError: matrix must be 2-dimensional

不同於matrix物件，ndarray物件可以表達n維陣列，如果將一維陣列想成向量，ndarray物件就可以想成是一維陣列(向量)的組合，下面用ndarray物件表達三維陣列就沒有問題：

[In] A = np.array([[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]])
[In] A
[Out] array([[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]])
[In] np.ndim(A)
[Out] 3

如果用物件導向角度來看，matrix物件就是ndarray物件的子類別(subclass)，所以matrix物件繼承了ndarray物件的所有屬性(attributes)與方法(methods)。

所以到底該用哪一個啊？以下小小比較一下：

對於矩陣乘法，例如矩陣A乘矩陣B，我們從小到大都習慣用「A*B」來表示吧？使用matrix物件 ，矩陣A乘矩陣B直接就是用「A*B」代表：

[In] A = np.matrix([[1, 2], [3, 4]])
[In] B = np.matrix([[5, 6], [7, 8]])
[In] A*B
[Out] matrix([[19, 22], [43, 50]])

而ndarray物件則不是這麼一回事，使用ndarray物件，「A*B」其實是代表矩陣A與矩陣B的「對應元素相乘(element-wise product)」，「dot(A, B)」才是我們熟悉的矩陣A乘矩陣B：

[In] A = array([[1, 2], [3, 4]])
[In] B = array([[5, 6], [7, 8]])
[In] (np.ndim(A), np.ndim(B))
[Out] (2, 2)

[In] A*B
[Out] array([[ 5, 12], [21, 32]])
[In] np.ndim(A*B)
[Out] 2

[In] np.dot(A, B)
[Out] array([[19, 22], [43, 50]])
[In] np.ndim(np.dot(A,B))
[Out] 2

為何ndarray物件的A*B代表的是矩陣A與矩陣B的對應元素相乘？要追朔這原理很容易，以下換個例子可能更清楚：

[In] V1 = array([1, 2, 3])
[In] np.ndim(V1)
[Out] 1   #V1維度為1，是一維陣列(向量)

[In] V2 = array([10, 10, 10])
[In] np.ndim(V2)
[Out] 1   #V2維度為1，也是一維陣列(向量)

[In] V1*V2
[Out] array([10, 20, 30]) #對應元素相乘

我們上面提過，ndarray物件可以看成是向量的組合，兩個ndarray物件相乘，也就是向量組合與向量組合相乘，當然就是兩邊相同位置的向量進行對應元素相乘啦！

回過頭來，matrix物件可以直接使用「.T」、「.H」以及「.I」求轉置矩陣(transpose)、共軛轉置矩陣(conjugate transpose)以及反矩陣(inverse)，然而ndarray物件只有「.T」可以使用。

另外，「**」用在這兩者上也不同，如果矩陣A是一個matrix物件，則「A**2」是代表「A*A」的意思。如果矩陣A是一個ndarray物件，由於ndarray物件可以看成是向量的組合，「A**2」就是A中每個向量與自己進行對應元素相乘(自己取平方)囉！

總結一下，雖然matrix物件對於使用上比較直觀，但是其只能處理二維陣列，如果哪天要處理三維或更高維陣列怎麼辦？還是得要用ndarray物件。

這就產生一個問題了，由於兩者操作上不太一樣，如果寫code時同時使用兩者，維護上就會稍嫌麻煩，因此，建議寫code時統一使用ndarray物件就好。當然，也不是說永遠不要用matrix物件，反正兩者可以互相轉換(註1)，用得方便即可。



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(註1) np.asmatrix(A)與np.asarray(A)



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