[機器學習]（四）多變數/多元線性回歸(Multiple linear regression)學習演算法

上一篇講解了單變數的線性回歸學習演算法，這邊我們將其擴展為多個變數。同樣我們以房價例子為例，只是這次總共有四個房屋的特徵，也就是面積、房間數、層數、屋齡：

我們一樣給出一些定義：

n = 總特徵數
${ x }^{ (i) }$ = 第i個樣本的所有特徵值，我們以向量表示，例如${ x }^{ (2) } = \begin{bmatrix} 1416 \\ 3 \\ 2 \\ 40 \end{bmatrix}$
${ x }_{ j }^{ (i) }$ = 第i個樣本的第j個特徵的值，例如${ x }_{ 3 }^{ (2) }$ = 2。

為了方便表示，額外定義了一個特徵${ x }_{ 0 }^{ (i) }=1$，使得原本n維的特徵變成n+1維。

所有特徵我們將它表示成一個向量$x=\begin{bmatrix} { x }_{ 0 } \\  { x }_{ 1 } \\{ x }_{ 2 } \\...\\{ x }_{ n } \end{bmatrix}$ ，所有參數我們也將它表示成一個向量$\theta =\begin{bmatrix} { \theta  }_{ 0 } \\ { \theta  }_{ 1 } \\ { \theta  }_{ 2 } \\ ... \\ { \theta  }_{ n } \end{bmatrix}$

將兩者相乘後我們的假設函數${ h }_{ \theta  }(x)$就可以寫成${ \theta  }^{ T }x$。如此將特徵以及參數表示成向量形式，就稱為多元線性回歸(Multivariate Linear Regression)，多元的意思就是用來預測多個特徵，只是一種更加好聽的說法。

將梯度下降法用於多元線性回歸：

更新$\theta$的方法與單變數線性回歸時的方法一樣，只是現在要同時更新${ \theta  }_{ 0 }$到${ \theta  }_{ n }$。

單變數線性回歸時，我們的特徵個數只有一個，我們把它叫做${ x }^{ (i) }$。在多變數線性回歸時，若仍然只有一個特徵，我們會叫它${ x }_{ 1 }^{ (i) }$，將梯度下降法用在多變數線性回歸的方式如下，深藍色框為成本函數對參數${ \theta  }_{ 0 }$求的偏導項。

在這裡，我們會改寫一下梯度下降演算法式子的寫法。舉例來說，如果現在有兩個特徵，則兩邊粉色框中的式子是一樣的，因為慣例上我們都假設${ x }_{ 0 }^{ (i) }=1$，之前單變數時其實偷偷省略了這個${ x }_{ 0 }^{ (i) }$。

以此類推，下面淺藍色框兩邊也都一樣，之前只有一個特徵時，最尾端寫成${ x }^{ (i) }$，現在會寫成${ x }_{ 1 }^{ (i) }$。綠色框則是因為現在有兩個特徵，比之前多了一個特徵${ x }_{ 2 }^{ (i) }$所多出的更新式子。